Cafour

⁂

layout: layouts/standalone.tsx styles: cells title: Neoficiální řešení zkoušky PV131 z 5. 6. 2020 math: true ---

Mějme fotografii, kterou chápeme jako spojitý dvourozměrný obraz $F (x, y)$ o rozměrech 15x10 cm. Zadefinujte takovou vzorkovací funkci $S (x, y)$ pro její naskenování, aby výsledný digitální obraz $I (x, y) = F (x, y) * S (x, y)$ byl naskenován v kvalitě 300 dpi (dots per inch). Pro jednoduchost použijte převod 1 palec (inch) = 2.5 cm.

S (x, y) = s u m_{(} j = - oo)^{o} os u m_{(} k = - oo)^{o} o d e lt a (x - j * De lt a X), " k d e " De lt a x = 6/ (6 * 300) = 4/ (4 * 300) = De lt a y = 1/300

Pozn. 15 cm = 6 in, 10cm = 4 in

Je dán 2D diskrétní obraz o velikosti 512x512 pixelů a na něm provedená 2D diskrétní vlnková transformace s Haarovou bázovou funkcí až do úrovně, kdy je ve výsledném obraze přítomen jen jeden aproximační koeficient. Určete, kolik bylo třeba provést úrovní rozkladů na nízkofrekvenční a vysokofrekvenční složky, a celkový počet detailních koeficientů pro diagonální směr přes všechny úrovně rozkladů dohromady. Řešení bez odvození nebo vysvětlení bude hodnoceno 0 body.

$J_{0} = 0$ , $J = l o g (512) = 9$ . Je tedy třeba provést 9 úrovní rozkladu a výsledek bude mít 8 HPF variant, tedy počet diagonálních detailních koeficientů je:

2^{8} * 2^{8} + 2^{7} * 2^{7} + 2^{6} * 2^{6} + 2^{5} * 2^{5} + 2^{4} * 2^{4} + 2^{3} * 2^{3} + 2^{2} * 2^{2} + 2^{1} * 2^{1} = 87358

Mějme 1D diskrétní signál délky $N = 15$ s konstantní úrovní $a \in R$ . Znázorněte jemu odpovídající frekvenční spektrum s důrazem na amplitudy jednotlivých Fourierových koeficientů a také na popis souřadného systému v rámci jedné zvolené periody.

$[15 a, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]$

Dvourozměrné konvoluční jádro zadané maticí $X$ je separabilní, právě tehdy když hodnost této matice je rovna 1. Pro níže uvedené konvoluční jádro uveďte jednu konkrétní konfiguraci hodnot neznámých proměnných a, b, c, d, e tak, aby toto konvoluční jádro bylo separabilní:

X = [[a, 2, b], [1, c, d], [3, e, 1]]

[[3, 2, 1], [1, 2/3, 1/3], [3, 2, 1]]

Mějme 2D diskrétní obraz $I$ , dva 2D lineární filtry $A$ a $B$ a dva 2D nelineární filtry $C$ a $D$ . Uveďte příklady filtrů, kdy neplatí:

$A (B (I)) = B (A (I))$ ,
$C (D (I)) = D (C (I))$ ,
$A (C (I)) = C (A (I))$ .

Nejsou příklady. Lineární filtry lze vždy vyjářit konvolucí a ta je asociativní.
C = maximový filtr, D = minimový filtr
A = gaussian, D = median

Mějme dva libovolné 2D diskrétní obrazy $A$ a $B$ o velikosti M x N pixelů, na které aplikujeme 2D diskrétní Fourierovu transformaci. Uveďte:

počet Fourierových koeficientů, které tato transformace spočítá pro každý z obrazů $A$ a $B$ ;
výčtem prvků nejmenší (ve smyslu množinové inkluze) možnou podmnožinu Fourierových koeficientů, která umožní jednoznačně rozhodnout, zda obrazy $A$ a $B$ mají stejnou průměrnou intenzitu.

M x N
Jeden. Koeficient v počátku indikuje intenzitu.

Do přiloženého dvouúrovňového obrazu $A$ zakreslete přibližné pozice značek, které povedou algoritmus záplavy, aplikovaný na velikost gradientu obrazu $A$ , k očekávanému výsledku v obraze $B$ .

Uveďte hodnoty minimálního a maximálního Feretova průměru pro základní geometrické útvary:

čtverec o straně délky a,
obdélník se stranami délky a a b,
kruh o poloměru r,
kružnice o poloměru r,
rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s přeponou délky a.

min = a, max = $s q r t (2) a$
min = min(a, b), max = $s q r t (a^{2} + b^{2})$
min = max = 2r
min = max = 2r
max = a, min = $a /2$

Mějme dvě diferenciální rovnice:

(\partial I (x, y, t)) / (\partial t) = x^{2} + y^{2} (\partial J (x, y, t)) / (\partial t) = I (x, y, t) - 5 + x

s počátečními podmínkami $I (x, y, 0) = 0$ a $J (x, y, 0) = 2$ , které definují změny dvou 2D diskrétních obrazů $I$ a $J$ o rozměrech 5x5 pixelů v čase t. Odvod’te, jak budou vypadat obrazy $I (x, y, 3)$ a $J (x, y, 3)$ při použití časového kroku $De lt a t = 1$ pro obraz $I$ a $De lt a t = 3$ pro obraz $J$ .

I (x, y, t) = I (x, y, t - 1) + x^{2} + y^{2} I (x, y, 3) = [[00, 03, 12, 27, 48], [03, 06, 15, 30, 51], [12, 15, 24, 39, 60], [27, 30, 39, 54, 75], [48, 51, 60, 75, 96]] J (x, y, t) = J (x, y, t - 3) + 3 * (I (x, y, t) - 5 + x) J (x, y, 3) = [[- 13, - 01, 029, 077, 143], [- 04, 008, 038, 086, 152], [023, 035, 065, 113, 179], [068, 080, 110, 158, 224], [131, 143, 173, 221, 287]]

Mějme libovolný dvourozměrný digitální šedotónový obraz velikosti 65x33 pixelů. Určete nejvyšší možné prostorové frekvence v něm obsažené (pro každou osu zvlášť) a uveďte, jak vypadají jim odpovídající bázové funkce.

Nejvyšší frekvence je taková, která se "dotkne" ka6dého pixelu v dané ose:

pro x: 65 Hz / m (za předpokladu 1 pixel = 1 metr)
pro y: 33 Hz / m

Bázové funkce:

o m e g a_{x} in [0, 65) b_{x} (x) = e^{(} - i (2 p i /65 * o m e g a_{x} * x)) o m e g a_{y} in [0, 33) b_{y} (y) = e^{(} - i (2 p i /33 * o m e g a_{y} * y))

Odvoďte předpis jednorozměrného spojitého signálu, který vznikne jednorozměrnou spojitou konvolucí $f (x) \otimes f (x)$ . Funkce $f : R \to R$ je definována následovně:

f (x) = (1,, - 1/2 <= x <= 1/2,), (0,, jinak.) :

Fourierova transformace:

P hi (o m e g a_{x}) = in t_{-} o o^{o} o f (x) * e^{(} - i o m e g a_{x} x) d x

P hi (o m e g a_{x}) = in t_{-} 1/ 2^{1} /2 e^{(} - i o m e g a_{x} x) d x o v erse t (" in t e g r a l c a l c u l a t or ") (=) [(i * e^{(} - i o m e g a_{x} x)) / o m e g a_{x}]_{(} - 1/2)^{(} 1/2) = (2 * " s in " (o m e g a_{x} /2)) / o m e g a_{x}

Mějme dvourozměrný binární obraz, jehož popředí obsahuje právě čtyři pixely na pozicích $(a, 0), (2 a, 0), (a, a)$ a $(2 a, a)$ , přičemž předpokládejme, že souřadný systém má počátek (tj. bod $(0, 0)$ ) vlevo dole, osa x je orientována vpravo, osa y svisle nahoru a souřadnice obrazových bodů jsou uváděny jako $(x, y)$ .

Popište, jak vypadá obsah akumulátoru po aplikaci diskrétní přímkové Houghovy transformace. Určete zejména počet a souřadnice význačných bodů.
Určete pozici jednoho pixelu v původním binárním obraze, po jehož přidání do popředí tohoto obrazu by příslušný akumulátor obsahoval právě dvě globální maxima, která by odpovídala úhlopříčkám čtverce s vrcholy v původních čtyřech pixelech popředí tohoto obrazu.

Pokud má akumulátor rozumnou velikost, pak v něm budou 4 "oblouky" a 6 význačných bodů v místech, kde se 2 oblouky protínají. Souřadnice: $(a, 0), (2 a, 0), (a, p i /2), (0, p i /2), (s q r t (2) a, p i /4), (s q r t (2) a, - p i /4)$
$(3/2 a, a /2)$

Pomocí konvolučního teorému dokažte vlastnost distributivity jednorozměrné diskrétní konvoluce vzhledem k operaci sčítání. Nezapomeňte jednotlivé kroky důkazu patřičně zdůvodnit, jinak budou hodnoceny 0 body. Stejně bude hodnocen i důkaz nevyužívající konvoluční teorém.

Chci dokázat $f o t im es (g + h) = f o t im es g + f o t im es h$ .

Konvoluční teorém: $" D FT " (f o t im es g) = " D FT " (f) * " D FT " (g)$

Nechť $i = g + h$ , pak

" D FT " (f o t im es i) = " D FT " (f) * " D FT " (i) = " D FT " (f) * " D FT (g + h) " o v erse t (" l in . o p .") (=) " D FT " (f) * (" D FT " (g) + " D FT " (h)) o v erse t (" a soc . n \overset{a}{ˊ} s .") (=) " D FT " (f) * " D FT " (g) + " D FT " (f) * " D FT " (h) o v erse t (" k o n v . t eor \overset{e}{ˊ} m ") (=) f o t im es g + f o t im es h .

Dokažte, že aplikací Fourierovy transformace na libovolný jednorozměrný reálný diskrétní signál sudé délky $N > 0$ získáme alespoň dva čistě reálné Fourierovy koeficienty. Tip: Uvědomte si, že je rozdíl mezi pojmy sudý signál a signál sudé délky.

1D DFT:

s u m_{(} x = 0)^{(} N - 1) f (x) * e^{(} - u ((2 p i) / N o m e g a_{x} x)) = s u m_{(} x = 0) (N - 1) f (x) * (" cos " ((2 p i) / N o m e g a_{x} x) - i * " s in " ((2 p i) / N o m e g a_{x} x))

f(x) má sudou délku > 0, tedy $N = 2 * k, k > 0$ .

s u m_{(} x = 0)^{(} 2 k - 1) f (x) * (" cos " (p i / k o m e g a_{x} x) - i * " s in " (p i / k o m e g a_{x} x))

Pro x = 0 platí $- i * " s in " (0) = 0$ , tedy $F (0)$ je reálné číslo.

Pro x = k platí $- i * " s in " (p i / k * k * o m e g a_{x}) = - i * " s in " (p i o m e g a_{x})$ , což je vždy 0, tedy i $F (k)$ je reálné číslo.

Tedy platí, že signál nenulové sudé délky má alespoň 2 reálné Fourierovy koeficienty.