9. Hough and Radon transform

Mějme 2D diskrétní obraz obsahující pouze 4 body představující rohy čtverce s hranou délky 2a umístěného svým středem do bodu $[2 a, 2 a]$ a osově orientovaného. Popište, jak vypadá obsah akumulátoru po aplikaci diskrétní přímkové Houghovy transformace. Určete zejména počet a souřadnice význačných bodů.

Houghova transformace

Detekuje tvary zadané rovnicí $f (x, a) = 0$ , kde $x$ je pozice a $a$ jsou parametry v obrázku.

U přímek to funguje zhruba tak, že máme 2D pole, kterému říkáme akumulátor, kde jedna dimenze je $ρ$ , vzdálenost přímky od počátku, a druhá je $θ$ , úhel, který svírá osa x s kolmicí od počátku k přímce. Velikost tohohle pole určuje počet možných přímek (úhlů a vzdáleností od počátku), které je možné detekovat. Algoritmus samotný probíhá takto:

Zkvantizuj prostor parametrů (zvol počet $ρ$ a $θ$ — řádků a sloupců akumulátoru).
Inicializuj akumulátor na samé 0.
Pro každý pixel s intenzitou, která nám přijde zajímavá, inkrementuj každou buňku akumulátoru, která odpovídá čáře, tímto bodem prochází.
Najdi lokální maxima v akumulátoru, odpovídají totiž těm přímkám, co hledáš.

⁂

Obsah akumulátoru závisí na počtu přímek, které připadají v úvahu. Nicméně, pokud má rozumnou velikost, pak v jeho grafu bude 4 oblouků, které odpovídají rohům čtverce a které se protínají v šesti bodech. Souřadnice těchto bodů budou $(3 a, π /2), (a, π /2), (3 a, 0), (a, 0), (s q r t (2) * 2 a, π /4), (0, 3 π /4)$ . Odpovídají postupně 4 stranám a 2 úhlopříčkám čtverce.

Mějme 2D diskrétní obrázek velikost $M \times N$ , na který aplikujeme diskrétní přímkovou HT danou rovnicí $ρ = x cos θ + ys in θ$ s následujícím vzorkováním akumulátoru: 1 pixel podle osy $ρ$ a 1 úhlový stupeň ve směru osy $θ$ . Určete, jak závisí velikost akumulátoru na velikosti vstupního obrázku.

Úhlových stupnů je 360, z čehoh 180 jich nepotřebujeme, a proto 180 je tedy i velikost akumulátoru v dimenzi $θ$ .

Nejzažší bod od počátku, kde lze se přímku detekovat je $[M - 1, N - 1]$ tedy velikost akumulátoru v dimenzi $ρ$ je $(M - 1)^{2} * (N - 1)^{2}$ .

Uvažujme, že máme zavedenu diskrétní eliptickou HT. Určete dimenzi akumulátoru.

Pět. Pozice středu (x a y), orientace a dva poloměry.

Existuje algoritmus, kterému stačí jeden.

Uvažujme, že máme zavedenu diskrétní parabolickou HT. Určete dimenzi akumulátoru.

Čtyři. Pozice vrcholu (x a y), orientace a koeficient $a$ z $a x^{2}$ .

Uveďte základní kroky potřebné při rekonstrukci signálu pomocí filtrované zpětné projekce (filtered backprojection). Popište, například pomocí obrázku, co se při jednotlivých krocích děje.

Radonova tranformace: Podívá se na obraz pod nějakým úhlem — skrze nějakou přímku danou směrnicí $a$ a odsazením $b$ a integruje.

$R_{I} (a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} I (x, a x + b) d x$

Svým způsobem je to zase Fourierka.
Filtered Backprojection: Jeden ze způsobů, jak provést inverzní Radonovu transformaci. Dalším je Fourier Slice Theorem.

Postup

High-pass filtrování

$R_{I}^{filtered} (ρ, θ) = IFT_{υ \to ρ} {∣ υ ∣ FT_{ρ^{'} \to υ} {R_{I} (ρ^{'}, θ)}}$
Zpětná projekce

$I (x, y) = \int_{0}^{π} R_{I}^{filtered} (x cos θ + y * s in θ, θ) d θ$